적분은 '디지털'이다! - [Reset! 리셋 수학 미적분]을 통해 배우는 적분의 개념

중학교 수학과 고등학교 수학의 가장 큰 차이라면 뭐니 뭐니 해도 ‘미적분’을 들 수 있습니다. 그만큼 ‘미적분’은 어려운 수학 단원이라고 할 수 있습니다. 이미 미적분이 무엇인지 개념조차 잊어도 미적분이 어려웠다는 건 생생하게 기억하는 어른들도 많으니까요.하지만 오늘날 미적분은 거의 모든 과학과 공학 분야에 쓰입니다. 설사 수학이 싫어 인문계를 택하고 경영학과나 경제학과에 진학한 친구들도 다시 ‘미적분’의 개념과 만나야 합니다. [Reset! 수학 미적분]에서는 미적분의 개념부터 차근차근 잡아 주어 ‘미적분’을 쉽게 이해할 수 있도록 안내합니다. <편집자 주> 

[Reset! 리셋 수학 미적분]을 통해 배우는 적분의 개념 
그러니까 적분은 '디지털'이다! 

 

 적분의 개념 1 : 적분은 넓이 계산이다!

적분은 아주 옛날부터 있던 개념이었다고 합니다. 하천 범람이 되풀이되는 상황에서 토지의 넓이를 재는 것이 바로 적분의 탄생이었대요.

자 한 번 생각해 보세요.
직사각형이나 정오각형, 삼각형 등은 넓이를 계산하는 게 간단하지만(공식도 간단해서 초등학생도 문제를 풀잖아요) 그림처럼 이렇게 구불구불한 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 어떻게 구할까요?

 

  자, 이 문제를 푸는 것이 바로 적분입니다.

 

 

방법은 이 도형을 직사각형으로 쪼개어 계산하는 것입니다. 물론 오차를 줄이기 위해 쪼개는 면을 최대한 많이 최대한 길쭉하고 가늘게  쪼개는 것이죠. 그렇게 쪼갠 직사각형을 모두 더하면 넓이를 구할 수 있습니다. 이것이 바로 적분입니다. 

 바로 옆 그림처럼 말이죠.

 
적분의 개념 2 : 울퉁불퉁한 건 모두 적분으로 해결!

 

울퉁불퉁한 넓이를 구하는 것만이 적분의 전부는 아닙니다.
자동차의 이동 거리, 금리 변동, 기온의 변화 등 수시로 ‘양’이 변화하는 것도 많잖아요.
이렇게 자주 변화하는 울퉁불퉁한 ‘양’을 측정하는 데에도 적분의 원리를 적용합니다.

물론 계산법은 똑같습니다. 예를 들어, 자동차의 이동 거리는 시간을 x축, 속도를 y축으로 해서 오른쪽 그림의 1번 그래프처럼 나타낼 수 있습니다. 교과서에 등장하는 자동차들은 등속 운동을 많이 하죠. 하지만 현실에서는 자동차가 빨리 갔다 느리게 갔다를 반복합니다. 그래서 그림에서 보는 것과 같이 속도가 수시로 변하므로 당연히 곡선을 그립니다.  이때 이 곡선은 바로 단위 시간에 움직인 이동 거리입니다. 거리는 시간×속도이니까요. 이때 x축과 곡선으로 이루어진 도형(즉 그래프에서 곡선 아래쪽 면)의 넓이를 구하면 이 자동차가 이동한 총거리를 구할 수 있습니다. 위에서 자잘한 직사각형으로 잘게 쪼개서 넓이를 구한 것과 동일한 방법을 쓰면 됩니다.

직사각형의 넓이는 가로세로의 곱! 마찬가지로 거리는 시간과 속도의 곱! 이런 유형의 양을 측정할 때 바로 적분의 원리를 쓸 수 있습니다.

적분의 개념 3 : 적분은 디지털! 잘게 쪼개면 오차는 거의 없다!

 적분에서는 연속적으로 변화하는 것을 폭이 좁은 직사각형과 같은 것으로 취급하고 일정한 기간 동안 변화하지 않는 것으로 여깁니다. 그럼 실제와 오차가 있지 않느냐고요? 물론 그럴 수 있습니다만, 아주 잘게 쪼개면 오차는 아주 줄어들거나 거의 무의미한 수준이 됩니다.

 우리 실생활에서도 이와 비슷한 원리로 작동하는 것들이 있어요.

영화가 그렇습니다.  옛날엔 영화를 활동사진이라고 불렀다지요. 맞습니다.

 

영화는 결국 정지한 사진 한 장 한 장을 잘게 이어 붙여 순서대로 비춥니다. 그러면 잔상 효과로 인해 연속적으로 움직이는 것처럼 보이죠.

 브라운관 형식의 TV에서는 브라운관이 다수의 점으로 나뉘어 있고 이 점들이 상하좌우로 움직이는 주사선에 감응해 전체 영상이 만들어지는데 주사선 자체는 연속적으로 움직이지만 브라운관 위의 점 하나를 눈여겨보면 주사선이 한번 지나가고 다음 주사선이 오는 동안은 변화하지 않는답니다. 영화와 같은 원리지요.

이런 원리는 음악 CD에도 동일하게 적용됩니다. 시간을 잘게 쪼개 구획을 짓고 한 구획마다 주파수와 진폭(음의 세기)을 정한 후 샘플링하는 것이죠.

자, 이제 적분의 개념, 이해가 되시나요? 그럼 적분의 3가지 특징을 정리해 보겠습니다.

1. 적분은 두 양의 곱으로 이루어진 '직사각형의 넓이와 같은 형태'의 양을 다룬다.
2. 적분은 그 양을 좁은 폭으로 잘게 나누어서 그 넓이를 더한 것이다.
3. 적분은 오차를 줄이기 위해 나누는 폭을 되도록 좁게 한다.

적분, 참 쉽죠?

 

 

이런저런 이야기를 듣다 보면 어느새 미적분의 ‘개념’이 새겨진다!
[Reset! 수학 미적분 : 개념부터 다시 시작하는]

 

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Reset 수학 미적분

저자

후카가와 야스히사 지음

출판사

이다새 | 2011-12-21 출간

카테고리

중/고학습

책소개

[개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학] 시리즈는 고등학교 ...

글쓴이 평점  

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